Большая советская энциклопедия - комбинаторика

Комбинаторика, 1) то же, что математический комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.). Наиболее употребительные формулы К.: Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно Anm = Anm называют числом размещений из n элементов по m. Число перестановок. Рассмотрим задачу: сколькими способами можно установить порядок следования друг за другом n различных предметов? Число способов равно Pn = 1Ч2Ч 3... n= n! (знак n! читается: «n факториал»; оказывается удобным рассматривать также 0!, полагая его равным 1). Pn называют числом перестановок n элементов. Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способов такого выбора равно Cnm = Cnm называют числом сочетаний из n элементов по m. Числа Cnm получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена (бинома, см. Ньютона бином): (a+b) n=Cn0 an + Cn1 an-1b +Cn2an-2b2 +... + Cnn-1abn-1 + Cnn bn, и поэтому они называются также биномиальными коэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов: Cnm=Cnn-m, Cnm + Cnm+1 = Cn+1m+1 Cn0 + Cn1 + Cn2 +...+ Cnn-1 + Cnn =2n, Cn0 — Cn1 + Cn2 —...+ (—1) nCnn = 0. Числа Anm, Pm и Cnm связаны соотношением: Anm=Pm Cnm. Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания с повторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений с повторением дается формулой nm, число сочетаний с повторением — формулой Cmn+m-1. Основные правила при решении задач К.: Правило суммы. Пусть некоторый предмет А может быть выбран из совокупности предметов m способами, а другой предмет В можно выбрать n способами. Тогда имеется т + n возможностей выбрать либо предмет A, либо предмет В. Правило произведения. Пусть предмет А можно выбрать m способами и после каждого такого выбора предмет В можно выбрать n способами; тогда выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить m + n способами. Принцип включения и исключения. Пусть имеется N предметов, которые могут обладать n свойствами a1, a2,..., an. Обозначим через N (ai, aj,..., ak) число предметов, обладающих свойствами ai, aj,..., ak и, быть может, какими-либо другими свойствами. Тогда число N' предметов, не обладающих ни одним из свойств, a1, a2,..., an, дается формулой = N—N (a1) — N (a2) —... —N (an) + N (a1, a2) + N (a1, a3) +... + N (an-1, an) — N (a1, a2, a3) —... — N (an-2, an-1, an) +... +(—1) n N (a1,..., an) Лит.: Netto E. Lehrbuch der Combinatorik, 2 Aufl., Lpz. — B., 1927. В. Е. Тараканов.